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23 septiembre, 2011
Portafolio de Evidencias
Buenas tardes en el siguiente LINK pueden descargar el Portafolio de Evidencias, deben contestar los ejercicios y llevarlo impreso para el dia Lunes 26 de Septiembre.
10 septiembre, 2011
El cero y el infinito
El cero, es aquel número que representa una cantidad nula. Un
concepto bastante paradójico, pero fundamental para el desarrollo de las matemáticas
a través de la historia.
El origen del cero como número se dio en la India. Si buscamos a
quien inventó el cero la verdad es que no fue una sola persona la que desarrolló este importante concepto,
pero debemos considerar a Brahmagupta, un matemático y astrónomo Indio como quien lo
utilizo por primera vez tal como lo conocemos hoy en día. Esto ya que la primera
mención clara de este número como concepto matemático se dio en su trabajo
"Brahmasphuta Siddhanta" en el año 628. En esta obra increíblemente avanzada
para la época, el matemático además considera a
los números negativos, y las reglas algebraicas para operar con ellos. Entre las
diferencias en el uso moderno de estos números, Brahmagupta le asignó cero al resultado
de cero dividido por este mismo número.
El infinito
es un concepto que todos utilizamos y nunca nos paramos a pensar sobre
él. Existen numerosas acepciones, algunas no solo contrarias, sino
contradictorias entre si, y es preciso, por lo menos señalar su
existencia y su significado. Desde Euclides, que no quería y evitaba
utilizar la palabra infinito y la sustituía por “lo que no tiene fin” y
frases parecidas, hasta Cantor, con la “creación” de la aritmética de
los números transfinitos. Son numerosas las ideas relacionadas con el
infinito, actualidad y potencialidad, existencia del continuo, distintos
tamaños de infinito, lo muy grande y lo muy pequeño, Dios, el todo...
Por supuesto, desde el momento en que la gente comenzó a pensar acerca
del mundo en que vivían, surgieron las preguntas sobre el infinito.
Había preguntas sobre el tiempo. ¿Apareció el mundo en un instante
concreto o siempre había existido? ¿Existiría para siempre o tendría un
final determinado? Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio.
¿Qué sucede si se permanece viajando en una dirección concreta? ¿Se
alcanzaría el final del mundo o se podría viajar para siempre? De nuevo,
sobre la Tierra se pueden ver las estrellas, planetas, el Sol y la
Luna, pero ¿era este espacio finito o se extendería para siempre?
Los imaginarios y complejos en contexto
Los números complejos expresan la suma entre un numero real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un numero entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es unnumero cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a √-1 el nombre de i (de “imaginario”).
La
noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números
reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Los
números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.
De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería.
Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las
ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.
El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).
Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .
Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.
Los irracionales en contexto
La
introducción
de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. En el siglo
VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales,
es decir números que no pueden ser expresados a través de
una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono
regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también,
familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas
y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números
negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos
literales bien desarrollado.
¿Que es un Número Irracional?
Un número irracional es aquél que no es un número entero y no puede
expresarse como división exacta de dos números enteros. Por ejemplo los
números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales. Un número
irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se
repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales
iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el
resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten
periódicamente.
Entre los número irracionales tenemos como ejemplo algunas
raíces cuadradas muy simples como Raíz cuadrada de 2 = 1,41421356237...
que tiene infinitos decimales de manera que no existe ninguna secuencia
de ellos que se repitan. También es irracional Raíz cuadrada de 5 =
2,236067977...
Aunque la raíz cuadrada de 2 sea difícil de escribir ya que tiene infinitos decimales, es en cambio muy fácil de representar geométricamente a partir de un cuadrado de lado uno. La diagonal de dicho cuadrado tiene como longitud la raíz cuadrada de 2. Este resultado es consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo con dos catetos iguales de lado uno.
Aunque la raíz cuadrada de 2 sea difícil de escribir ya que tiene infinitos decimales, es en cambio muy fácil de representar geométricamente a partir de un cuadrado de lado uno. La diagonal de dicho cuadrado tiene como longitud la raíz cuadrada de 2. Este resultado es consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo con dos catetos iguales de lado uno.
09 septiembre, 2011
Los racionales en contexto
Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia
de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con
numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban
con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado,
ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre
1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya
utilización persistió hasta la época medieval.
En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras
cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal
para separar numerador y denominador en las fracciones. A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó
el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó
las fracciones decimales que se expresaban por medio de números
decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc.,
pero los escribía de una forma complicada; así para 456,
765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).
A principios del siglo XVII, los números decimales aparecieron
tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte
entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron,
en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico
Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.
¿Que son los Numeros Racionales?
Los
Numeros Racionales, son el cociente de dos números enteros que se
llaman numerador, a, y denominador, b y se representan por la letra Q. Ha de ser b ≠ 0.
a/b
Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5,
indica que son “quintas partes”, es decir, denomina la parte de
la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas
partes hay que tomar: “tres quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:
14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32
Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'
si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles
por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se
obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha
simplificado o se ha reducido:
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
12/9= 4/3
Reducir dos o más fracciones a común denominador
es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que
todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte
son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de
sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos,
entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Para sumar dos o más fracciones se reducen a
común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su
denominador. Por ejemplo:
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
Producto de Fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es
el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus
denominadores:
a/b * c/d = a*c/b*d
Inversa de una Fraccion
La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se
obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una
fracción por su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1
Cociente de Fraccion
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
a/b : p/q
, a/b*q/p, a*q/b*p
Los enteros en contexto
Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú
o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos
comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones
relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias
recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos
según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con
una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en
la contabilidad occidental.
Los números enteros abarcan a los números naturales, incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural
otro mayor). Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Bariloche es de -10º”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).
Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos. La noción de números enteros fue establecida ya que se trata de
números que permiten representar unidades no divisibles, como una persona o un pais (no puede decirse “En mi casa viven 4,2 personas” o “El próximo campeonato mundial tendrá la participación de 24,69 países”).
¿Que son los Numeros Enteros?
Un Número Entero, es cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos
tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o
por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas
superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o
por debajo de la entrada al mismo…).
Las operaciones suma, resta y multiplicación de
números enteros son operaciones internas porque su resultado es también
un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden
dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
- Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
7 + 11 = 18
-7 - 11 = -18
-7 - 11 = -18
- Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
7 + (-5) = 7 - 5 = 2
-7 + 5 = - (7 - 5) = -2
14 + (-14) = 0
-7 + 5 = - (7 - 5) = -2
14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores
absolutos y a continuación se aplica la regla de los
signos y se sintetiza del siguiente modo:
+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
Los Naturales en Contexto
A diario tenemos que enfrentarnos a situaciones que nos exigen habilidad
en el manejo de los números a la hora de tomar decisiones en el hogar,
el estudio, el trabajo, etc. donde la matemática con el número como
elemento fundamental, es la base para buscar y encontrar opciones de
solución a muchos de los casos a los que se debe enfrentar el hombre
como ser racional y social.
¿Que son los Numeros Naturales?
Un Número Natural,
es el que sirve para designar la cantidad de elementos
que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los
números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa
por N:
N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
- Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
- Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y
conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números
naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
La multiplicación de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del
producto respecto de la suma.
1. Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2. Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4. Distributiva del producto respecto de la suma: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Lo natural de contar
La noción de número y contar ha acompañado a la humanidad desde
la prehistoria. Como todo conocimiento desarrollado por el
hombre primitivo, la causa para que el ser humano emprendiera
sus pasos en el contar y plasmar cantidades surgió
fundamentalmente de la necesidad de adaptarse al medio ambiente,
proteger sus bienes y distinguir los ciclos de la naturaleza
pues ya percibían y observaban con cuidado los ritmos que ésta
posee y su fina relación con las oportunidades de alimentación
y, en general, con la conservación de la vida, entre otros.
Cabe resaltar que el ser humano es incapaz de percibir, en forma
directa e inmediata, los grupos mayores a 4 objetos sin un
aprendizaje previo; motivo que hace indiscutible que para el
hombre este conocimiento era completamente necesario e
imprescindible a favor de su supervivencia.
La razón para que actualmente se utilice un sistema decimal, se
deriva principalmente de que el ser humano necesitó hacer una
representación simbólica del conteo con su propio cuerpo, y para
ello se valió básicamente de los 10 dedos de las manos y aunque
éste no fue el único sistema utilizado por la humanidad sí fue
el más difundido.
A medida que el ser humano fue evolucionando, le fue urgente
el comenzar a representar las cantidades en forma de dibujos,
para seguir en forma precisa los ciclos de la naturaleza, dejar
mensajes a sus semejantes o para seguir con la contabilización
de sus posesiones que rebasaban la cantidad de 10.
Hasta ese momento el hombre plasmaba en dibujos su forma de
vida, los peligros que corrían, cómo era su entorno, las
posesiones que tenía, etc. Y las cantidades comenzaron también a
plasmarse en símbolos iguales que se limitaban a contar hasta
llegar al número que se quería plasmar.
Surgió entonces la representación pictórica de los números, los
cuales consistían en una consecución de líneas o puntos
consecutivos. Un sistema que para contabilizar hacía muy difícil
la lectura rápida de los números, a diferencia de los grabados
que se referían a los objetos que estaban representando. Por
ende, comenzaron a separar las líneas en grupos de diez. Sin
embargo, la contabilización seguía siendo de difícil lectura.
Es aquí donde la evolución de la escritura comienza a tener una
relevancia en la historia de los números. Con el paso del
tiempo, los dibujos o grabados en las cavernas, aquellas que
conocemos como las primeras escrituras, pasaron de ser una
simple representación del objeto (pictograma) para convertirse
también en ideogramas; es decir, que los símbolos pasaron a
tener significados más profundos que correspondían a las ideas y
cualidades asociadas al objeto representado.
Sin embargo, la escritura, que aquí ya estaba evolucionando para
contener significados más amplios aún no tenía asociado un
sonido determinado; es decir, sí podía ser nombrada
fonéticamente mas ninguno de los símbolos representaba letra
alguna, únicamente representaban la idea o el objeto en sí.
De esta manera los primeros sistemas de escritura fueron de
carácter pictográfico, ideográfico o una combinación de los dos.
Entre estos sistemas de representación podemos encontrar los
jeroglíficos egipcios, los símbolos de la escritura japonesa y
china, la escritura maya, la escritura azteca y la escritura
cuneiforme de los semitas, entre otros.
Cabe anotar que las limitaciones para realizar operaciones
matemáticas con esta forma de representación numérica hacían que
fuesen pocos los que pudiesen profundizar en este conocimiento;
razón por la que este saber estaba en manos de los sacerdotes de
todas las culturas hasta entonces conocidas. Dilema que fue
resuelto siglos después gracias a la idea que en la India ,
desde hace 2.200 años aproximadamente, habían implementado. El sistema de símbolos que actualmente conocemos fue
desarrollado por los hindúes en el que el uno lo representaban
como 1; el dos, 2; el tres, 3; el cuatro, 4; cinco, 5; el seis,
6; el siete, 7; el ocho, 8 y el nueve.
"Contar es establecer una correspondencia entre el sonido de los números naturales, y el orden en el que éstos aparecen"
Hay que tener
en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios
sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar. El proceso de
contar es complejo ya que requiere:
- Conocer la serie numérica o parte de ella,
- Establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a contar y las palabras-número que se recitan
- Identificar el último término enunciado como representante de la cantidad.
CUADRANTE III Ingreso bibliográfico y cibergráfico
La importancia de los numeros y el conteo
La
adquisición del concepto de número no es fácil: por un lado, la
Historia de la Matemática aporta a esa afirmación pruebas suficientes;
por otro, las respuestas que obtenemos de las personas aportan datos que
dejan al descubierto un importante vacío de comprensión
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